Krásná teorie her

Když se fotbalista postaví k pokutovému kopu, jaká je pravděpodobnost, že skóruje? Záleží to na hráči? Na brankáři? Nebo na něčem úplně jiném? Jak uvidíte, odpovědi na tyto otázky jsou velmi zajímavé a souvisejí s mnohem širšími tématy než jen s technickými dovednostmi hráčů.

Tyto otázky nejsou zajímavé jen pro zapálené fotbalové fanoušky – mají i zásadní význam pro ekonomii. Následující kapitoly vám nabídnou pohled na ekonomické uvažování, které se odehrává na fotbalovém hřišti, a ukážou, jak lze abstraktní ekonomické teorie ověřovat pomocí nejpopulárnější hry na světě.

Na základě analýzy fotbalových dat se seznámíte s novými ekonomickými modely lidského chování a získáte zcela nový pohled na význam fotbalových zápasů. Dozvíte se mimo jiné, proč byste si v penaltovém rozstřelu měli vždy zvolit, že budete kopat jako první; proč se zdá, že rozhodčí často nadržují domácímu týmu; a jak co nejlépe nastavit svou strategii ve hře kámen–nůžky–papír.

Abychom pochopili, jak může fotbal pomoci porozumět ekonomii, musíme se nejprve seznámit s minimaxovým teorémem Johna von Neumanna. Jeho teorie her se zabývá dvouhráčovými hrami s nulovým součtem – tedy takovými, v nichž zisk jednoho hráče vždy znamená ztrátu druhého.

Minimaxový přístup předpokládá, že hráči volí takové strategie, které minimalizují maximální možný zisk soupeře – odtud název „minimax“. Protože jde o hry s nulovým součtem, zároveň to znamená, že každý hráč se snaží minimalizovat svou vlastní maximální možnou ztrátu.

Vezměme si jako příklad hru kámen–nůžky–papír. Vyhrát může vždy jen jeden hráč, druhý prohrává. Strategie každého z nich proto spočívá v tom, že se snaží omezit šance soupeře na vítězství. Rozlišujeme dva typy strategií: čisté a smíšené. Čistá strategie znamená, že hráč vždy volí stejný tah (například pokaždé hraje kámen), zatímco smíšená strategie spočívá v náhodném střídání všech tří možností – kamene, nůžek a papíru.

Klíčovým předpokladem minimaxové teorie je, že pokud by pro soupeře bylo výhodné znát váš tah předem, pak pro vás bude výhodné hrát náhodně. Představte si, že hrajete kámen–nůžky–papír s dlouholetým přítelem. Pokud obvykle volíte papír, může toho snadno využít tím, že si zvolí čistou strategii – bude vždy hrát nůžky. Jestliže však jeden hráč používá čistou strategii a druhý smíšenou, smíšená strategie vyhraje přibližně ve dvou třetinách případů. Naopak, pokud oba hráči používají smíšené strategie, mají oba stejnou šanci na výhru.

V ideálním případě by tedy oba hráči měli své tahy náhodně střídat, protože každá čistá strategie má jen zhruba třetinovou šanci na vítězství.

Minimaxová teorie byla formulována už v roce 1928, ale dlouho chyběla možnost jejího empirického ověření. To se změnilo až s analýzou pokutových kopů ve fotbale.

Proč lze pokutové kopy považovat za minimaxovou hru? Podobně jako ve hře kámen–nůžky–papír existuje jen omezený počet strategií, které si hráči volí nezávisle na sobě. Hru tvoří střelec a brankář, z nichž každý má k dispozici několik možností: střelec může mířit vlevo, vpravo nebo doprostřed, brankář může skočit vlevo, vpravo nebo zůstat stát uprostřed.

„Výplatou“ pro střelce je vstřelený gól, pro brankáře naopak neúspěšná střela. Střelec se snaží maximalizovat pravděpodobnost, že dá gól, zatímco brankář se ji snaží minimalizovat. Důležité je, že míč letí k brance zhruba 0,3 sekundy, takže brankář nemá čas reagovat na skutečný směr střely. Musí se rozhodnout předem, kam skočí. Oba hráči tedy volí své strategie nezávisle na sobě.

Protože každý z nich vybírá z omezeného počtu možností – vlevo, vpravo, střed – můžeme jejich volby formalizovat a ověřit, zda odpovídají předpovědím minimaxové teorie. A skutečně: strategie střelců tyto předpovědi potvrzují. Ukazuje se, že hráči volí smíšené strategie, že pravděpodobnost úspěchu je u všech použitých strategií stejná a že žádný profesionální fotbalista nepoužívá čistou strategii.

Zajímavé je, že analýza ukazuje, jak střelci spontánně vytvářejí sekvence kopů, které jsou na sobě statisticky nezávislé: ani nekopou stále do stejného rohu, ani rohy nemění podle jednoduchého vzorce. Jinými slovy, směr jejich střel je z hlediska soupeře v podstatě náhodný. Jak minimaxová teorie předpovídá, silně to naznačuje, že jejich volba strategie není ovlivněna předchozími volbami ani výsledky.

Z přibližně 9 000 pokutových kopů v mezinárodních soutěžích, které byly analyzovány, vyplývá, že průměrná pravděpodobnost vstřelení gólu je kolem 80 procent – bez ohledu na to, v jakém pořadí střelec volil levou, pravou či střední část branky.

Jak uvidíte v následujících kapitolách, fotbal nám nejen pomáhá ověřovat teorii her, ale také zpřesňovat předpoklady jiných ekonomických modelů, které se dříve zdály příliš vágní na to, aby je bylo možné empiricky testovat.