Jak se nemýlit

Považujete matematiku za obtížnou, nebo dokonce za něco, co nemá žádnou souvislost s vaším každodenním životem? Mnoho lidí si myslí, že matematiku je nejlepší nechat ve školní třídě, ve skutečnosti však zasahuje do našich životů mnohem hlouběji, než si uvědomujeme. Důvod je prostý: matematika je ve své podstatě vědou o zdravém rozumu, formálním vyjádřením věcí, které už intuitivně chápeme.

Matematici používají specializovaný jazyk, aby mohli rychle a přesně sdělovat složité myšlenky. Právě tento jazyk může pro některé lidi matematiku znepřehlednit nebo úplně odradit. Duševní práce, která stojí za složitější matematikou, však není tak vzdálená způsobu uvažování, jaký používáme v mnoha běžných situacích.

V tomto shrnutí se naučíte, jak odhalovat „skrytou matematiku“ ve svém životě, jak ji využít k lepšímu pochopení problémů a – co je nejdůležitější – jak se díky ní vyvarovat chyb. V následujících kapitolách také zjistíte:

• proč je tolik výzkumných výsledků publikovaných v odborných časopisech ve skutečnosti chybných,
• proč bývá druhá kniha debutujícího romanopisce obvykle slabší než jeho první bestseller,
• a proč pojem „veřejné mínění“ ve skutečnosti neoznačuje nic jednoznačného.

Složitá matematická schémata, s nimiž jste se setkávali ve škole, vás možná uváděla do rozpaků. Možná jste si tehdy říkali: „K čemu mi tohle kdy bude v reálném životě?“ Krátká odpověď zní: bude.

Matematika je klíčovým nástrojem pro řešení běžných problémů. Všichni ji denně používáme, jen tomu obvykle neříkáme „matematika“. V jádru je matematika vědou o tom, jak se nemýlit.

Uvažujme tento příklad: během druhé světové války se americké bombardéry vracely z misí nad Evropou poseté zásahy od kulek. Zajímavé bylo, že trup letadel měl vždy mnohem více děr než motor. Aby letadla lépe ochránili, navrhli vojenští poradci zesílit pancéřování právě na trupu. Jeden mladý matematik však doporučil opak: navrhl přidat pancéřování k motorům. Proč?

Předpokládal, že letadla, která byla zasažena do motoru, se prostě nevrátila. To, co vidíme na letišti, je tedy jen výběr těch strojů, které zásah motoru přežily – a těch je málo. Kdyby byly motory lépe chráněné, vrátilo by se z misí více letadel.

Tato situace je klasickým příkladem jevu zvaného přežívací zkreslení. Jde o logickou chybu, kdy se soustředíme pouze na objekty, které „přežily“ určitý proces, a ignorujeme ty, které v něm zanikly. V našem příkladu se poradci dívali jen na letadla, která se vrátila, a přehlíželi ta, která byla sestřelena.

Na první pohled to možná nevypadá jako matematický problém, ale je. Matematika je o používání rozumu tak, abychom se v úsudku nespletli.

Matematika je zároveň založena na zdravém rozumu. Dokážete vysvětlit, proč je přidání sedmi kamenů k pěti totéž jako přidání pěti kamenů k sedmi? Je to tak samozřejmé, že je těžké to vůbec vysvětlovat. Matematika tuto naši intuici zachycuje tím, že říká, že sčítání je komutativní: pro libovolná čísla a a b platí a + b = b + a.

Celé rovnice sice nemůžeme řešit jen podle pocitu, ale matematika z našeho zdravého rozumu vychází a systematicky ho rozvíjí.

Základní pravidlo matematiky zní: máte‑li obtížný problém, zkuste si ho zjednodušit a nejprve vyřešit jednodušší verzi. A pak doufejte, že tato jednodušší verze je původnímu problému dostatečně blízká.

Složité problémy můžeme rozkládat na jednodušší tím, že předpokládáme linearitu. V geometrii předpokládáme linearitu, když pracujeme s přímkami; křivky naopak představují nelinearitu.

Představte si mravence, který obchází velký kruh. Z jeho pohledu se mu může zdát, že kráčí po přímce. A skutečně: kdybychom se na malý úsek kružnice podívali dostatečně zblízka, vypadal by i nám jako přímka. Z toho můžeme usoudit, že kružnice se dá chápat jako mnoho krátkých přímek, které jsou vůči sobě jen nepatrně pootočené.

Předpokládejme, že chcete změřit obsah kruhu. Můžete do něj vepsat čtverec tak, aby se každý jeho vrchol dotýkal kružnice. Obsah čtverce se snadno spočítá. Do zbývajících mezer pak můžete vkládat další mnohoúhelníky s více a více vrcholy a počítat jejich obsahy, dokud se celkový součet nebude velmi blížit obsahu kruhu – a to vše jen pomocí přímek.

Myšlenka linearity se široce používá ve statistice. Vzpomeňte si na jakýkoli číselný vztah, na který můžete narazit v novinách: třeba že země s větším počtem restaurací Burger King mají „volnější morálku“, nebo že každých dalších 10 000 dolarů příjmu zvyšuje pravděpodobnost, že člověk bude volit republikány, o 3 procentní body. To jsou příklady lineární regrese.

Lineární regrese je založena právě na předpokladu linearity. Ve statistice se používá k měření toho, jak spolu souvisejí různá pozorování (například výše platu a volební preference). Opět jde o zjednodušení problému.

Při zkoumání vztahu mezi příjmem a volebním chováním získáme mnoho různých datových bodů, které můžeme zakreslit do grafu. Lineární regrese se nesnaží spojit každé jednotlivé pozorování zvlášť; místo toho hledá přímku, která co nejlépe vystihuje celkový trend v datech.