Ve stínu neznáma

V historických knihách se často setkáváme s králi, královnami, válkami a přírodními katastrofami, ale rovnice se v nich objevují jen zřídka. To je zavádějící, vezmeme‑li v úvahu, že právě rovnice opakovaně změnily běh dějin. Pythagorova věta nám umožnila vytvářet přesné mapy a Einsteinova teorie relativity zásadně proměnila náš pohled na čas a prostor. Tyto příklady ukazují, že ačkoli se rovnice mohou zdát abstraktní, dokážou odhalovat překvapivě konkrétní souvislosti v reálném světě.

Z 17 rovnic, které podle autora změnily svět a které jsou v knize podrobně probírány, zde představíme devět nejvýznamnějších a nejvýraznějších. Dozvíte se mimo jiné:

• v čem jsou si trojúhelníky, kruhy a čtverce vlastně podobné,
• jak by vás satelitní navigace ve vašem autě mohla „poslat“ na špatnou planetu,
• jak může kuchyňský robot vyvolat chaos,
• a jak může jedna rovnice přispět ke krachu na akciovém trhu.

Na první pohled se Pythagorova věta zdá být jednoduchá. Má podobu rovnice a² + b² = c², která popisuje vztah mezi třemi stranami pravoúhlého trojúhelníku: a a b označují strany svírající pravý úhel a c je přepona, tedy nejdelší strana. Přes svou jednoduchost představovala tato věta zásadní první krok ve vývoji geometrických technik potřebných k vytváření přesných map – triangulace.

Protože každý mnohoúhelník lze rozdělit na trojúhelníky a každý trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky, umožňuje nám tato rovnice vypočítat strany a úhly libovolného mnohoúhelníku. Při mapování se zkoumané území pokryje sítí trojúhelníků, což umožňuje měřit vzdálenosti a úhly mezi jednotlivými body v terénu.

Díky technologickému pokroku v měřicích přístrojích se dnes už explicitní triangulace téměř nepoužívá, stále však tvoří základ metod, které zpracovávají data ze satelitů a z nich odvozují polohu. Zobecnění Pythagorovy věty nám navíc umožňují měřit tvar vesmíru.

Zemi si obvykle představujeme jako kouli – to je v zásadě správně. Ale jaký tvar má vesmír jako celek? Najít odpověď na tuto otázku se může zdát nemožné: nemůžeme přece „vyjít ven“ a podívat se na něj zvenčí. Díky zobecněním Pythagorovy věty však můžeme udělat něco jiného.

Pythagorova věta platí pro trojúhelníky v rovině. Její zobecnění ale mohou platit i pro trojúhelníky v zakřivených prostorech. Například trojúhelníky na povrchu koule nám umožňují měřit vlastnosti naší planety. A nejen to: tato zobecnění nám také říkají, jak silně jsou dané prostory zakřivené. Měřením trojúhelníků v prostoru se tedy můžeme pokusit určit jeho zakřivení – a tím i tvar vesmíru.

V geometrii je polyedr trojrozměrné těleso složené ze soustavy stěn, které se stýkají na hranách – typickým příkladem je krychle. Eulerův vzorec pro polyedry je jednoduché, ale pozoruhodné tvrzení: sečteme‑li počet stěn (F), hran (E) a vrcholů (V), tedy rohů tělesa, platí vztah

F − E + V = 2.

Eulerův vzorec zásadně ovlivnil matematiku a podnítil vznik nového druhu geometrie – topologie. V topologii nehrají běžné pojmy jako délky a úhly žádnou roli a nerozlišuje se mezi trojúhelníky, čtverci a kruhy. Čáry se mohou ohýbat a natahovat – jen se nesmějí trhat ani slepovat.

Máme‑li dvě geometrická tělesa, je přirozenou matematickou otázkou, zda jsou topologicky ekvivalentní, tedy zda je lze navzájem plynule deformovat ohýbáním a natahováním. Odpovědět jen na základě pohledu na tvar může být překvapivě obtížné. A právě zde vstupuje do hry Eulerův vzorec: umožňuje rozlišovat geometrické objekty pouhým počítáním stěn, hran a vrcholů.

Chceme‑li zjistit, zda je daný polyedr topologicky ekvivalentní jinému tělesu, spočítáme F − E + V a výsledky porovnáme. Pokud v obou případech vyjde 2, jsou z topologického hlediska stejné; pokud ne, liší se.

Tento přístup se rozvinul v bohatou oblast matematiky, která zkoumá vlastnosti geometrických tvarů. Topologie nachází stále více uplatnění v biologii. Dva řetězce DNA jsou například jako dvojice točitých schodišť, která se kolem sebe vinou a složitě se proplétají. Důležité biologické procesy – zejména způsob, jakým buňka při dělení kopíruje svou DNA – musejí brát v úvahu složitou geometrii této dvojité šroubovice. Matematikové a molekulární biologové využívají topologii k analýze zákrutů a ohybů DNA a díky tomu lépe chápou, jak různé biologické procesy závisejí na jejích geometrických strukturách.