Kouzlo matematiky

Pouhá zmínka o kouzelníkovi v nás obvykle vyvolá představu někoho v cylindru, kdo pronáší „abrakadabra“ a z ničeho nic vykouzlí bílé králíky, holubice a šátky jediným mávnutím hůlky. Bez rekvizit a velkolepé podívané by ale kouzlo zmizelo. Pokud se ovšem nevydáte do světa matematiky!

Tyto úryvky zkoumají půvabnou magii matematických vzorů a ukazují, jak některé z nich využít k působivým trikům a zdánlivě nemožným výpočtům v hlavě. Uvidíte, že kouzlo se skrývá i v číslech, jako je π, a v samotném pojmu nekonečna. Zjistíte také, jak snadno umocňovat větší čísla zpaměti, jak ohromit okolí jednoduchým kouzelnickým trikem založeným na algebře a proč existuje přesně tolik kladných celých čísel jako sudých celých čísel.

Matematika není jen nudné učebnice a úmorné počítání; je to celý svět vzorů, které nejsou jen magické, ale často i velmi užitečné. Uvažujme takzvané číselné vzory – tedy vzory tvořené čísly – a jejich překvapivé a krásné vlastnosti.

Autor na ně poprvé narazil jako dítě, když si hrál s dvojicemi čísel, která dávají součet 20: například 10 a 10 nebo 9 a 11. Napadlo ho: jaký je největší možný součin, který mohu z těchto dvojic získat? Zkusme to: 7 × 13 = 91, 8 × 12 = 96, 9 × 11 = 99, 10 × 10 = 100. Největší součin tedy dostaneme, když jsou obě čísla rovna 10. Nic zvláštního, že? Ale když se podíváte pozorněji, objeví se na těchto číslech něco zajímavého.

Zkoumejme, o kolik se každý součin liší od 100, když počítáme směrem dolů: 100 − 100 = 0, 100 − 99 = 1, 100 − 96 = 4, 100 − 91 = 9. Dostaneme tak posloupnost 0, 1, 4, 9 – tedy první druhé mocniny přirozených čísel: 1², 2², 3² atd. Tento vzor funguje v celém rozsahu: pokud vypočítáme 5 × 15, dostaneme 75 a k 100 se dostaneme přičtením 5².

A co víc, tentýž vzor se objevuje bez ohledu na to, na jaké číslo se dvojice sčítají! Tyto číselné vzory nejsou jen magické, ale i prakticky užitečné. Když se naučíme jejich tajemství, můžeme si díky nim výrazně zrychlit mentální výpočty – tedy počítání v hlavě.

Například můžeme uvedený vzor použít k snadnému výpočtu druhé mocniny čísla. Řekněme, že chcete spočítat 13². Místo abyste v hlavě násobili 13 × 13, můžeme provést jednodušší výpočet 10 × 16: obě čísla se sčítají na 26, stejně jako 13 a 13. Dostaneme 10 × 16 = 160, ale ještě nejsme hotovi. Náš vzor nám říká, že protože jsme od 13 šli nahoru a dolů o 3, musíme k výsledku přičíst 3². Tím získáme

13² = (10 × 16) + 3² = 160 + 9 = 169.

Teď, když víte, že matematika může být kouzelná, možná se chcete naučit nějaký trik na večírek, kterým ohromíte přátele. Zde je příklad takové „mathemagie“, který můžete předvést.

Vyberte si jednoho přítele a veďte ho těmito kroky:

1. ať si v duchu zvolí dvě čísla od 1 do 10,
2. tato dvě čísla sečte,
3. součet vynásobí 10,
4. k výsledku přičte větší z původních čísel,
5. od výsledku odečte menší z původních čísel,
6. a nakonec vám oznámí, jaké číslo mu vyšlo.

Pokud si osvojíte následující postup, dokážete ho ohromit tím, že mu okamžitě prozradíte obě původní čísla.

Představme si, že jeho odpověď je 126. Vezměte poslední číslici výsledku, tedy 6, a přičtěte ji k předchozím číslicím, tedy k 12. Pak tento součet vydělte 2:

(12 + 6) / 2 = 9.

To je jeho větší číslo. Menší číslo získáte tak, že od právě vypočteného většího čísla – v našem případě 9 – odečtete poslední číslici výsledku, tedy 6:

9 − 6 = 3.

A to je vše!

Kde se v tom ale skrývá kouzlo? Za trikem stojí síla algebry – části aritmetiky, v níž čísla nahrazujeme písmeny.

Podívejme se na algebru v pozadí našeho triku. Nechť X a Y jsou dvě čísla, přičemž X je větší nebo rovno Y. Podle výše uvedených kroků dostaneme:

Krok 2: X + Y
Krok 3: 10(X + Y)
Krok 4: 10(X + Y) + X
Krok 5: 10(X + Y) + (X − Y)

V našem číselném příkladu s X = 9 a Y = 3:

Krok 2: 9 + 3 = 12
Krok 3: 10(9 + 3) = 120
Krok 4: 10(9 + 3) + 9 = 129
Krok 5: 10(9 + 3) + (9 − 3) = 126.

Všimněte si, že číslo ve tvaru 10(X + Y) vždy končí nulou a číslice před nulou tvoří X + Y. Výraz X − Y je jednociferné číslo, a proto je poslední číslicí výsledku v kroku 5 právě X − Y.

Jakmile známe X + Y a X − Y, můžeme spočítat

((X + Y) + (X − Y)) / 2 = ((X + X) + (Y − Y)) / 2 = 2X / 2 = X.

V našem příkladu:

((9 + 3) + (9 − 3)) / 2 = (12 + 6) / 2 = 18 / 2 = 9.

Nakonec dopočítáme menší číslo:

X − (X − Y) = (X − X) + Y = Y.

V našem případě: 9 − (9 − 3) = 9 − 6 = 3.

Hotovo. Kouzlo je odhaleno!